资讯处   19.10.2011

385

 
《中大通讯》第385期 > 洞明集 > 美丽有序

美丽有序

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相信不少读者还会记得《有你终生美丽》(A Beautiful Mind)这出有关一位传奇数学家的电影,在影片的开始,男主角在阳光下以手中的玻璃杯折射出一些图案,恰巧重叠到他同学领带的花纹上,然后男主角淡淡的说出一句:「你的领带那么差劲,是可以用数学来解释的。」


这句话也许只是电影制作人的无心插柳,但中大数学系的魏军城教授会告诉你,数学藏身于大自然的各种现象,寻找物理、生命,甚至金融学等等的奥秘,数学都用得上。上述电影情节提及的光线折射,便可以由麦斯威尔方程(Maxwell Equations)来描述;自然界中花鹿和野豹的斑点,又或是小丑鱼和斑马的斑纹,则可以由一个描述「反应扩散系统」(Reaction-DiffusionSystem)的偏微分方程组来概括。这些方程由于需要表达某种变量随时间及空间变化的关系,故需要以微分这个数学算子来表达,于是就有偏微分方程的概念。


以动物为例,其身上的点纹与斑纹,其实是一种色素的分子,在另一种色素的介质之间分布或累积、相互作用的结果。「反应扩散方程」可以描述两种正在产生相互作用的介质,在不同的比例之下,其中一个介质是如何于另一个介质之间分布及累积,所以能用来解释动物身上漂亮有致的点纹,甚至是人类体肤上浓淡不一,又会不时移位的墨痣。


在两种分量比例较均衡的介质之间,反应扩散方程组的数学解释给出的图案恰好是斑纹,在分量比例较极端时则会是点纹,所以斑与点都可以用一对「反应扩散方程」来解释。说明白一点,小丑鱼身上橙黄色与黑色的色素,正是因为比例较均衡,所以表现出斑纹的分布形式;倘若是橙色极多而黑色极少的话,方程告诉我们黑色素会以点纹方式聚集,小丑鱼身上便会出现豹纹了。然而简单的方程只能解释较简单的自然现象,愈是繁琐的现象背后,其微分方程就愈见复杂,要发掘及了解内里的数学结构也就愈是困难。


魏军城教授过去一直致力研究偏微分方程,尤其是非线性椭圆方程及方程组凝聚现象,并取得国际公认的成绩。纯数学中一个著名的猜想是1978年由意大利数学家Ennio de Giorgi提出的de Giorgi猜想,一直以来吸引了全球数学家的关注,是非线性方程中最重要的问题。在2006年之前的研究,证实该猜想适用于八维空间或以下,因此学界认为该猜想在所有的维数皆是站得住脚的。然而,魏教授与他的研究伙伴,以创新的数学方法,找到了九维以上的一个反例,证明de Giorgi的猜想在九维或以上不能成立,破解了这个数学谜团。


魏教授这个研究成果,也令他克服了求解复杂「反应扩散方程」的困难。他发现随着方程中的扩散系数增加,点纹会开始不稳定,一分为二,甚至会变出更复杂的花纹图案。自然界看似纷乱随机的现象,其实都可以透过人类智慧归纳出条理分明的秩序来。


数学研究除了让我们看透单一现象,也显示了数学的普遍性及结构美。「反应扩散方程」不只为研究动物的斑点服务,在了解超导体的物理结构,了解传染病的蔓延,乃至细胞寻找营养方面都有贡献。也因为如此,在这数学领域开拓研究,了解微分方程的数学结构,其意义可以超越数学问题本身,延伸至它所支配的各个知识领域。这也是令魏教授等数学家着迷的地方。

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